Brauche ich die Genehmigung meines Vermieters, wenn ich Nachschlüssel anfertigen lassen möchte?

Bei einer vernünftigen Schliessanlage benötigen Sie auf jeden Fall den Berechtigungsschein für die Schlüssel. Ohne diesen wird kein Schlüsseldienst einen solchen Schlüssel "nachmachen"!! Die Nummern werden registriert.
Ihrem Vermieter würde ich aber alle Schlüssel bei Auszug aushändigen.

Man darf ohne Genehmigung. Allerdings muss der Schlüssel beim Auszug mit übergeben werden.

Nein. Wenn du einen ganz normalen Schlüssel hast, dann kannst du so viele Duplikate anfertigen lassen wie du möchtest. Allerdings musst du beim Auszug sämtliche Schlüssel dem Vermieter kostenfrei übergeben. Solltest du einen Sicherheitsschlüssel haben, dann kannst du den nur mit Einverständnis des Vermieters nachmachen lassen, das verlangen die Schlüsseldienste.