Brauche ich für eine Birke direkt an unserem Haus eine Baumfällgenehmigung und wo bekomme ich die?

Kommt darauf an. Das ist in jeder Stadt anders geregelt. Frag beim Umwelt- oder Grünflächenamt nach.

Ist das Grundstück dein Eigentum und kein Nachbar von deinem Vorhaben betroffen, brauchst du keine Genehmigung. Du solltest allerdings vorsichtig sein: beim Fällen könnte etwas schief gehen, gerade in Bezug auf das Haus. Mit Seilen absichern, langsam kippen lassen.

Du mußt dich bei deiner Stastverwaltung erkundigen, meistens ist das zuständige Forstamt, die eine Entscheidung darüber treffen. Wenn der Baum störend ist und das Haus beschädigt, oder wenn er karnk ist und umstürzen könnte, dann hast du relativ gute Chancen.