Dürfen 13-Jährige schon Mini Elektrorroller benutzen?

Kommt - wie immer - darauf an! Nämlich auf Folgendes:
Hat der Roller ein (Versicherungs-)Kennzeichen bzw. benötigt man einen Führerschein? (Soweit ich weiß, bei über 6 km/h nur mit dem Antrieb; Gegenbeispiel Pedelecs mit "Mittreten") Dann darf der Enkel AUF DER STRASSE sicher nicht. Ansonsten sehe ich auch auf der Straße kein Hindernis; auf dem Gehweg darf der Roller wohl eher nicht bewegt werden (falls nicht unter 6 km/h, siehe oben).
Auf Privatgelände kann es ihm allerdings niemand (außer Dir als Rollerbesitzer, seine Eltern und der Eigentümer des Geländes) verbieten, das Teil auszuprobieren. Allerdings haften dann die Eltern (bzw. Aufsichtspersonen) für entstandene Schäden, wenn er beispielsweise auf einem Parkplatz Autos zerschrammt.

Laut Auskunft der Polizei ist das Mindestalter 15. Die meisten Mini Elektroroller gehen nämlich schneller als 6 Stundenkilometer, also braucht das Fahrzeug die zulassungs- und führerscheinrechtlichen Bedingungen. Wie du sicher weißt, erreichen manche Roller bis zu 20 Stundenkilometer. Man darf auf Radwegen damit auch nur fahren, wenn diese für Mofas freigegeben sind.

Auf Privatgelände kein Problem. Im öffentlichen Straßenverkehr nicht.

Nach deinem ersten Orgasmus darfst du auch Roller fahren.