Muss man versicherungstechnisch eine Fahrgemeinschaft absichern? Was muss dabei beachtet werden?

Gar nicht – die Personen sind durch die Haftpflicht des Wagens versichert. Hier kann darauf achten, dass die Werte hoch sind.
Aus dem Wort "Fahrgemeinschaft" schließe ich, dass man zusammen zur Arbeit fährt, auf dem Arbeitsweg greift die gesetzliche Unfallversicherung

Zusätzlich kann man noch eine spezielle Insassenversicherung abschließen. Ich halte das für überflüssig, außerdem müsste die Versicherung bei rotierenden Fahrer auf jedes Fahrzeug abgeschlossen werden. Es gibt aber Lücken die die Insassenversicherung schließt: Etwa: Sie werden schuldlos angefahren, es gibt Personenschäden der Unfallgegner ist aber nicht versichert oder flieht etc

Und I: Drei mal versichern heißt nicht "drrei mal"-kassieren
Und II: Wenn es sich nicht um eine gemeinsame Fahrgemeinschaft handelt, sondern um eine nicht angemeldete Personenbeförderung gegen Entgelt – so etwas gibt es ja auch – gibt es mit den üblichen Privatversicherungen immer ein Problem – so etwas muss speziell versichert werden

Nein, die gesetzliche Haftpflicht reicht.

Grundsätzlich muss für eine Fahrgemeinschaft keine spezielle Versicherung abgeschlossen werden, da die Mitfahrer generell über die Kfz-Haftpflichtversicherung des Unfallverursachers abgesichert sind. Passiert also ein Unfall auf dem Weg zur Arbeit oder bei einem Ausflug, dann zahlt die Versicherung des Unfallversuchers etwaigen Schäden. Wenn der Fahrer der Fahrgemeinschaft der Verursacher ist, zahlt seine Versicherung ebenfalls an alle Mitfahrer, nur in diesem Fall natürlich nicht an ihn selbst.

Ich rate dringend zu einer zusätzlichen Insassenversicherung

Nein das müssen Sie nicht. Das würde ja in unmöglichen Versicherungstechnischen Gegebenheiten enden. Denn wenn sie in eine Straßenbahn oder in einen Bus steigen, ist dies schon rechtlich gesehen eine Fahrgemeinschaft und dies wird von Ihrer normalen Krankenkasse übernommen. Im Schadensfall trägt die Haftpflicht des Fahrers (Bei Eigenschuld) die anfallenden Kosten.

Wenn man eine Fahrgemeinschaft gründet, um gemeinsam den Weg zur Arbeit zu fahren und es sollte etwas auf dem Weg dahin passieren, so ist das ein typischer Wege- und daher Dienstunfall. Ansonsten gibt es für Fahrgemeinschaften eine spezielle Insassenversicherung, die man abschließen sollte, um alle Risiken abdecken zu können.