Was muss ein Verkaufsvertrag in jedem Fall enthalten, wenn ich einen gebrauchten Wagen privat verkaufen möchte?

Kritzele deinen Namen und den Namen des Käufers auf ein Stück Papier, benenne den Kaufgegenstand (das Auto) und den Preis und schon hast du die Mindestangaben, die du in deiner Frage ("in jedem Fall") erbeten hast. Für alle weiter gehenden Auskünfte empfehle ich dir, nach Musterverträgen zu googlen und diese dann zu vergleichen - oder willst du wirklich, dass wir dich hier der Reihe nach mit 20 mehr oder weniger sinnvollen Passagen bewerfen, die alle in Autokaufverträgen vorkommen können?

Geh zum ADAC und hol Dir einen entsprechenden Vordruck. Ausfüllen, unterschreiben, fertig.

Auf jeden Fall gehören sowohl dein Name und Adresse und auch der des Käufers hinein. Außerdem ist es wichtig den genauen Kilometerstand und das Datum/ Uhrzeit anzugeben, wann der Wagen übergeben wurde. Das schützt dich versicherungstechnisch, falls der Käufer vor dem Ummelden des Fahrzeuges einen Unfall verursacht.

In jedem fall sollte das Fahrzeug genau identifiziert werden. Also mit Fahrgestellnummer, Typ, Alter usw. Außerdem Übergabe der Dokumente aufzeichnen. Wichtig ist auch Datum und Uhrzeit der Übergabe. Im Falle das zwischen Ab- und Neuanmeldung ein Unfall o. Ä. passiert. dann bist Du abgesichert. Außerdem natürlich Vorschäden bennen und den vermerk "Gekauft wie gesehen".

neben den beiden adressen von käufer und verkäufer (so wie im personalausweis angegeben), dem kaufbetrag, den zahlungsmodalitäten (in der regel bar auf die hand) würde ich mir vom verkäufer versichern lassen, dass er der eigentümer des fahrzeuges ist bzw. berechtigt ist, es zu verkaufen.