Werden die Daten bei einer Festplattendefragmentierung wirklich auf der Festplatte umgeschrieben? Oder wie funktioniert das genau?

Ja, werden sie. In Teile zerlegte Dateien werden an einem Stück neu abgelegt. Spart Zugriffszeiten und macht so den PC ein klein wenig schneller.
Die Betonung liegt auf "ein klein wenig".

Es werden Datenblöcke so zugeordnet, dass zusammen gehörende Sektoren auch an aufeinanderfolgenden Stellen liegen - im Prinzip hast Du Recht mit dem Umschreiben. Stell es Dir vor wie in einem unordentlichen Küchenregal: Du stellst Teigwaren, Süßigkeiten und Gewürze jeweils zusammen, damit Du die einzelnen Sachen schneller findest.

Die Daten werden tatsächlich auf der Festplatte verschoben. Also an einer Stelle kopiert und gelöscht und an einer anderen Stelle wieder gespeichert. Auf diese Weise sollen die Daten dichter bei einander liegen, das erhöht die Lesegeschwindigkeit. Ist bei modernen Betriebssystemen kaum noch nötig, weil direkt sortiert gespeichert wird.

Die werden einfach aufgeräumt. Du musst dir das wie einen Schrank voller Aktenordner vorstellen, die alle durcheinander stehen. Wenn du nun etwas bearbeiten willst, musst du erst alle betreffenden Ordner suchen. Wenn du sie aber sortiert hast, dann kannst du gezielt die relevanten Ordner aus dem Schrank nehmen. So ähnlich ist das bei der Defragmentierung auch.