Wie ist der genaue Ablauf bei Haftpflichtschäden? Hat da jemand Erfahrung und kann es mir kurz schildern?

Variante 1)
Du hast etwas kaputtgemacht und meldest das umgehend bei Deiner Versicherung. Was hast Du kaputtgemacht, wem gehörte das etc. Die Versicherung sollte sich dann beim geschädigten melden.
Variante 2)
Du bist der Geschädigte und Du weisst, bei welcher Versicherung der Schädiger versichert ist und welche Versicherungsnummer er hat. Dann meldest Du Dich bei seiner Versicherung und fragst nach, ob der Schaden bereits gemeldet wurde.
Bei Unfällen mit dem Auto, wenn Du der Geschädigte bist: LASS DAS ALLES EINEN ANWALT MACHEN!!! Den muss die gegnerische Versicherung mitbezahlen, zumindest in dem Anteil, den sie am Gesamtschaden tragen muss.

Sie verursachen einen Schaden. Dies melden Sie Ihrer Versicherung und der Rest wird von dieser Versicherung erledigt.

Beim Auto, wo das ja normalerweise gefragt wird, meldest du als Verursacher den Schaden deiner Versicherung. Die melden sich dann beim Geschädigten und regeln das. Als Geschädigter muss man nur seine Kontaktdaten dem Verursacher geben und warten, dass die Versicherung sich meldet.

mir hat mal ein freund ein zigarettenloch in eine daunendecke gebrannt - ausversehen natürlich! dann hat er den schaden bei seiner haftpflichtversicherung gemeldet (telefonisch), musste noch ein formular ausfüllen, in das auch meine kontonummer aufgenommen wurde - und nach zwei wochen hatte ich das geld drauf. die jacke wollte keiner sehen.

Wenn ich etwas kaputt gemacht habe, das einer anderen Person gehört, und meiner Haftpflichtversicherung dies gemeldet habe, dann warte ich, bis der Schaden behoben wurde und leite die Rechnung für die Reparatur oder den Neukauf an meine Versicherung weiter, die dann demjenigen den Schaden erstattet.