Wie muss ich richtig mahnen, damit ich auch Chancen habe, mein Geld wirklich zu bekommen?

Da solltest du die Beziehung zu deinem Schuldner überdenken. Je energischer du mahnst, desto höher ist natürlich die Wahrscheinlichkeit, dass du Geld zu sehen bekommst. Wenn du nur bittest, und du hast schon vorher nichts bekommen, wirst du auch mit der zweiten Mahnung nichts bekommen.

Mahnbeischeid im Schreibwarenhandel kaufen, ausfüllen und dann damit zum Amtgericht. So zwingst Du den Schuldner zu einer Reaktion. Entweder er zahlt, oder die Sache landet vor Gericht.

Falls das noch nicht geschehen ist, eine letzte Frist setzen (nicht einen Zeitraum, sondern ein Datum als Frist angeben) und ankündigen, dass bei erfolglosem Ablauf der Frist Klageerhebung erfolgt.
Wenn der Schuldner ein Schluri ist oder vernünftig, kann man ein gerichtliches Mahnverfahren betreiben, er wird dann die Frist versäumen oder den Mahnbescheid bewusst rechtskräftig werden lassen.
Sie können dann vollstrecken.
Wenn man ahnt, dass die Gegenseite ohnehin Widerspruch einlegt, kann man sich das Mahnverfahren sparen und gleich (nach Ablauf der Frist) Klage erheben.

Meines Wissens ist eine Mahnung gar nicht zwingend notwendig. Wenn auf der Rechnung ein Zahlungsziel angegeben wurde, gerät der Kunde automatisch in Zahlungsverzug, wenn er dieses nicht einhält. In dem Fall kann rein theoretisch ein Anwalt sofort einen Mahnbescheid ausstellen und das Geld einfordern.

Es ist schon richtig, was Noahh24 schreibt, eine Mahnung ist nicht immer zwingend erforderlich. Das gilt zum Beispiel bei "Fixgeschäften", bei denen der Zahlungstermin vorab vereinbart ist (Mietzins).
Dennoch würde ich eine Mahnung in der geeigneten Form schreiben.
Gerichtliches Mahnverfahren: Ich glaube, das geht inzwischen nicht mehr über Formulare aus dem Schreibwarenfachgeschäft sondern nur noch über das Internet. Mahngericht ist das Amtsgericht am Wohnort des Antragstellers.