Kann der Lehrer einen Urlaub mit schulpflichtigen Kindern außerhalb der Ferienzeit verbieten?

Ja. Die Schulpflicht ist bindend.

Nein. Der ist sowieso nicht erlaubt.

Verbieten kann er ihn nicht, aber die zuständigen Behörden werden den Eltern gewaltig den Marsch blasen.

Das braucht der Lehrer erst gar nicht zu verbieten, weil wir in Deutschland Schulpflicht haben. In besonderen Fällen kann eine Ausnahmebewilligung erteilt werden, z.B. bei Teilnahme an anerkannten internationalen Sportwettbewerben, besonderen Familienfeiern (100. Geburtstag, Hochzeit der Eltern usw.). Diese Genehmigung erteilt die zuständige Schulbehörde, der Lehrer hat das nicht zu entscheiden. Eigenmächtiges Fernhalten der schulpflichtigen Kinder kann mit empfindlichen Ordnungsgeldern geahndet werden.

Der Lehrer muss den Urlaub gar nicht erst verbieten, aber die Schulleitung kann ihn genehmigen. Wenn du mit deinem Kind außerhalb der Ferienzeit in Urlaub fahren willst, musst du einen formlosen Antrag an die Schulleitung stellen, die diesen genehmigen kann oder auch nicht.
Wenn es sich hierbei um ein paar Tage vor oder nach den Ferien handelt, sollte das eigentlich kein Problem sein.
Jedenfalls musst du dich so oder so an die Schulleitung wenden und mit den Lehrern anlegen sollte man sich deswegen auch nicht. Die können den Schülern nämlich unter irgendeinem Vorwand schlechte Noten reindrücken.

Dieses Recht hat der Lehrer auf jeden Fall. Es handelt sich um die Schulpflicht. An diese müssen sich die Schüler und auch deren Eltern halten. Du kannst versuchen Sonderurlaub zu beantragen, vielleicht habt Ihr ja Glück, dass dieser genehmigt wird. Das kann sein, wenn ein naher Verwandter Hochzeit feiert und das nicht im näheren Umfeld stattfindet und Ihr hinreisen müsstet.