Welche Personen sind denn immer gesetzliche Erben? Da muss es ja Gesetze geben, denke ich. Sagt mir das jemand?

Natürlich ist das gesetzlich geregelt - im BGB.
Es gibt Erben erster bis fünfter Ordnung; 1. Ordnung sind Ehepartner, Kinder und Enkel, 2. Ordnung die Eltern und deren Nachkommen, 3. Ordnung Großeltern und deren Nachkommen etc. Steht alles hier.

Soweit ich weiß sind die Verwandten des Erblassers diejenigen, die nach dem Gesetz erben (also wenn kein Testament vorliegt). Das ist in § 1924 BGB (Bürgerliches Gesetzbuch) und den nachfolgenden Paragrafen geregelt, die Du Dir hier ansehen kannst: http://bundesrecht.juris.de/bgb/.

Erben sind Ehepartner und Kinder des Verstorbenen, die zu gleichen Teilen erben, wenn kein Testament gemacht wurde. War der Verstorbene alleinstehend ohne Kinder, dann erben die Eltern und Geschwister. Sind diese ebenfalls verstorben, dann erben deren Kinder. Durch ein Testament kann diese Reihenfolge außer Acht gelassen werden.