Was passiert wenn der Arbeitgeber den Vertrag noch nicht unterschrieben hat?

Guten Tag,
ich schildere kurz die Situtation:
Ich beginne eine neues Arbeitsverhältnis von meiner Seite her habe ich den Vertrag schon unterschrieben und diesen als PDF per Mail an die Verwaltung weitergeleitet. Bisher habe ich den Vertrag aber nicht unterzeichnet vom Arbeitgeber zurück erhalten.
Des Weiteren weiß ich von zukünftigen Kollegen, welche ihre Arbeit schon aufgenommen haben, dass noch keine Meldung bei der Krankenkasse erfolgt ist.

Meine Befürchtung ist nun, dass ich vereinbarte Punkte wie zum Beispiel Gehalt, Urlaub etc beim Arbeitgeber nicht geltend machen kann oder dass ich im Ernstfall nicht versichert bin.

Laut Rechtslage ist der Arbeitgeber verpflichtet neue Mitarbeiter spätestens 6 Wochen nach Vertragsbeginn zu melden.

Laut Verwaltung ist der Vertrag in Arbeit und man möge doch Geduld zeigen. Nun ja die Geduld habe ich jetzt seit ca einen Monat.

Kann mir jemand beantworten ob die Arbeitsaufnahme überhaupt rechtens ist oder der Vertrag, welcher nur einseitig unterschrieben ist, bindend ist?